[ Filip Graliński ] [ Archiwum Fi ] [ sofizmaty ]

Archiwum Fi

1 = 2 (sposób II)

Rozważmy szereg nieskończony

S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5...

Pomnóżmy obie strony przez 2:

2S = 2 - 2/2 + 2/3 - 2/4 + 2/5...

2S = 2 - 1 + 2/3 - 1/2 + 2/5 - 1/3...

Zmieńmy teraz porządek wyrazów w szeregu otrzymanym po prawej stronie:

2S = (2 - 1) - 1/2 + (2/3 - 1/3) - 1/4...

2S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5

Po prawej stronie równania otrzymaliśmy ponownie szereg S, więc

2S = S

zatem po obustronnym podzieleniu przez S:

2 = 1!

W jednym z sofizmatów (patrz każda liczba jest równa dowolnej liczbie od niej mniejszej) błąd polegał na podzieleniu stron równania przez 0. W powyższym dowodzie taki przypadek nie zachodzi, bo

S = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ... =

 = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 0.

Podobnie można wykazać, że S jest skończone:

S = 1 - (1/2 - 1/3) - (1/4 - 1/5) - ... =

 = 1 - 1/6 - 1/20 - ... < 1.

Szereg nieskończony S jest warunkowo zbieżny (nazywamy tak szereg zbieżny, który przestaje być zbieżny, gdy zamienimy w nim wszystkie znaki - na +), a w szeregu warunkowo zbieżnym nie wolno swobodnie zamieniać porządku wyrazów, bo można otrzymać szereg o zupełnie innej sumie. Co więcej, dla dowolnej zadanej z góry liczby, można tak zmienić porządek wyrazów szeregu warunkowo zbieżnego, by nowy szereg sumował się do tej liczby.

patrz także

data ostatniej modyfikacji tej strony: 23 grudnia 2001