paradoks petersburski
Załóżmy, że zaproponowano nam udział w następującej grze: rzucamy monetą, jeśli wypadła reszka, wygrywamy złotówkę i gra na tym się kończy, jeśli natomiast wypadł orzeł, rzucamy drugi raz i w przypadku wyrzucenia reszki wygrywamy dwa złote, zaś jeśli wypadł orzeł, kontynuujemy grę, i z kolei jeśli w trzecim rzucie wypadnie reszka, wygrywamy cztery złote itd., gra toczy się aż do wyrzucenia reszki, stawka za każdym rzutem podwaja się. Ile pieniędzy można zapłacić za możliwość uczestniczenia w takiej grze?
Okazuje się, że gra jest tak atrakcyjna, że warto za nią zapłacić dowolnie dużą sumę pieniędzy!
W grze można wygrać 1 zł z prawdopodobieństwem 1/2, 2 zł z prawdopodobieństwem 1/4, 4 zł z prawdopodobieństwem 1/8 itd., to znaczy średnia wygrana wynosi:
(1 * 1/2) + (2 * 1/4) + (4 * 1/8) + (8 * 1/16) + .... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
Lecz powyższa suma jest przecież nieskończona, a więc gra toczy się o nieskończoną stawkę!
Rzecz jasna, jeśli zapłacimy na przykład 10,000 zł za możliwość uczestniczenia w grze, to zwykle na tym stracimy, bo najprawdopodobniej szybko wyrzucimy reszkę i wygramy raczej mało. Jednak istnieje pewne małe prawdopodobieństwo wygrania astronomicznej kwoty pieniędzy, w takim przypadku z dużą nawiązką zwróciłby nam się zainwestowany kapitał.
W opisywanej grze przyjęto nierealne założenie, że strona wypłacająca ma niewyczerpane zasoby finansowe i jest w stanie wypłacić szczęśliwemu graczowi bardzo szybko rosnące stawki.