problem Serbelloni
Spośród trzech więźniów, Mateusza, Marka i Łukasza, dwóch ma być straconych, a jeden ocalony. Mateusz nie wie jeszcze, którzy z więźniów zostali skazani na śmierć, i czy on sam jest jednym z tych dwóch nieszczęśników. Pyta się on strażnika: "na pewno zginie Marek lub Łukasz, więc, jeśli wyjawisz mi teraz, kto z nich zostanie stracony, to niczego mi nie powiesz o moim losie". Strażnik po krótkim namyśle przychylił się do prośby więźnia i odpowiedział, że umrze Marek. Usłyszawszy to, Mateusz uspokoił się nieco, bowiem prawdopodobieństwo jego ocalenia zwiększyło się z 1/3 do 1/2. (Mateusz wie teraz, że zostanie stracony Marek, a drugim nieszczęśnikiem będzie albo on, albo Łukasz.)
Czy rzeczywiście Mateusz miał prawo poczuć się spokojniejszym?
Niestety nie. Prawdopodobieństwo ocalenia Mateusza pozostaje równe 1/3, także po tym, co Mateusz usłyszał z ust strażnika.
Zestawmy w tabeli wszystkie możliwe pary więźniów skazanych na śmierć:
| prawdo- podobieństwo | skazani na śmierć | ocalony | imię wyjawiane przez strażnika | |
|---|---|---|---|---|
| A | 1/3 | Mateusz, Marek | Łukasz | Marek |
| B | 1/3 | Mateusz, Łukasz | Marek | Łukasz |
| C | 1/3 | Marek, Łukasz | Mateusz | Marek albo Łukasz |
Zauważmy, że w trzecim przypadku strażnik może podać Mateuszowi imię albo Marka, albo Łukasza. Przyjmijmy, że w takiej sytuacji strażnik losowo wybiera skazańca, którego imię oznajmi Mateuszowi. Zamiast trzech mamy zatem do czynienia z czterema możliwościami:
| prawdo- podobieństwo | skazani na śmierć | ocalony | imię wyjawiane przez strażnika | |
|---|---|---|---|---|
| A | 1/3 | Mateusz, Marek | Łukasz | Marek |
| B | 1/3 | Mateusz, Łukasz | Marek | Łukasz |
| C1 | 1/2 * 1/3 = 1/6 | Marek, Łukasz | Mateusz | Marek |
| C2 | 1/2 * 1/3 = 1/6 | Marek, Łukasz | Mateusz | Łukasz |
Pod uwagę bierzemy jedynie te przypadki, w których strażnik wyjawia Mateuszowi, że Marek zostanie stracony, czyli:
| prawdo- podobieństwo | skazani na śmierć | ocalony | imię wyjawiane przez strażnika | |
|---|---|---|---|---|
| A | 2/3 | Mateusz, Marek | Łukasz | Marek |
| C1 | 1/3 | Marek, Łukasz | Mateusz | Marek |
(W porównaniu z poprzednią tabelą zmieniły się wartości prawdopodobieństw, bo teraz liczymy je w przestrzeni dwóch przypadków, a nie czterech, tak czy owak przypadek A pozostaje dwa razy bardziej prawdopodobny niż przypadek C1.)
Teraz widać, że prawdopodobieństwo, że Mateusz umrze, pozostaje równe 1/3. Jeśli Czytelnik nie wierzy w te rachunki, może przeprowadzić prosty eksperyment. Niech jedna osoba wybiera losowo dwie karty spośród trzech, asa, króla i damy, w taki sposób, by druga osoba na razie nie wiedziała, które karty zostały wylosowane. Następnie niech pierwsza osoba wyjawi jakąś z wylosowanych kart, nie będącą asem. Proszę sprawdzić w jakim procencie takich losowań, gdy pierwsza osoba powiedziała, że wylosowany został król, drugą wylosowaną kartą był as. (As reprezentuje Mateusza, król Marka, a dama - Łukasza.)
Wracając jeszcze do trzech więźniów: odpowiedź byłaby inna, gdyby wiadomo było, że strażnik w przypadku, gdy zostaną straceni Marek i Łukasz, wyjawia imię Marka, a nie losowo wybranego więźnia. Wtedy powiem prawdopodobieństwa wszystkich przypadków mają się jak następuje:
| prawdo- podobieństwo | skazani na śmierć | ocalony | imię wyjawiane przez strażnika | |
|---|---|---|---|---|
| A | 1/3 | Mateusz, Marek | Łukasz | Marek |
| B | 1/3 | Mateusz, Łukasz | Marek | Łukasz |
| C1 | 1/3 | Marek, Łukasz | Mateusz | Marek |
| C2 | 0 | Marek, Łukasz | Mateusz | Łukasz |
W sytuacji, gdy strażnik powiedział, że stracony zostanie Marek, prawdopodobieństwo ocalenia Mateusza jest równe prawdopodobieństwu ocalenia Łukasza i wynosi 1/2. Gdyby natomiast strażnik powiedział, że to Łukasz został skazany na śmierć, wówczas Mateusz wiedziałby na pewno, że jest drugim skazańcem.
Problem zyskał swoją nazwę, ponieważ omal nie doprowadził do zerwania odbywającej się w Villi Serbelloni w lecie 1966 konferencji, poświęconej biologii teoretycznej.