[ Filip Graliński ] [ Archiwum Fi ]

Archiwum Fi

syn czy córka

Pan Kowalski ma dwoje dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma dwóch synów?

Pan Nowak ma dwoje dzieci. Jedno z nich jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko pana Nowaka też jest chłopcem?

Pan Malinowski ma dwoje dzieci. Starsze z nich jest chłopcem, jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko też jest chłopcem?

Zakładamy - niezupełnie zgodnie z rzeczywistością - że prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki są równe i wynoszą dokładnie 1/2.

Jeśli ktoś ma dwoje dzieci, są cztery jednakowo prawdopodobne możliwości: (a) dwie dziewczynki (DD), (b) starsze dziecko jest chłopcem, młodsze - dziewczynką (CD), (c) starsze dziecko jest dziewczynką, młodsze - chłopcem (DC), (d) dwóch chłopców (CC). Prawdopodobieństwa każdego z tych przypadków są równe 1/4; policzmy na przykład prawdopodobieństwo układu CD: najpierw rodzi się chłopiec, prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 1/2 (założyliśmy, że dzieci "z osobna" rodzą się z określoną płcią z prawdopodobieństwem 1/2), następnie na świat powinna przyjść dziewczynka, co także zdarza się z prawdopodobieństwem 1/2, jeśli założymy, że oba zdarzenia są niezależne - a tak można z pewnym przybliżeniem przyjąć - to prawdopodobieństwo przyjścia na świat najpierw chłopca, a następnie dziewczynki wynosi 1/2 razy 1/2, czyli 1/4. Innymi słowy, pierwsze dziecko jest chłopcem w połowie przypadków, z czego z kolei w połowie przypadków bocian przyniesie temu chłopcu młodszą siostrzyczkę, a połowa z połowy to jedna czwarta. Zresztą jak ktoś nie wierzy, to niech sprawdzi w jakim procencie losowo wybranych parunastu czteroosobowych rodzin są starszy syn i młodsza córka!

Teraz możemy udzielić odpowiedzi na postawione pytania. Pan Kowalski ma dwóch synów z prawdopodobieństwem 1/4 (jak wyżej wykazaliśmy takie jest prawdopodobieństwo układu CC). W przypadku pana Nowaka w grę wchodzą trzy równie prawdopodobne możliwości: CC,DC,CD (wiemy, ze pan Nowak na pewno nie ma dwóch córek), z czego interesuje nas jedna, mianowicie CC - zatem poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi 1/3 (a nie 1/2, jak można by na pierwszy rzut oka mniemać).

Co do Pana Malinowskiego mamy dwie możliwości: CC i CD. Prawdopodobieństwo pierwszej z nich wynosi w tym przypadku 1/2 i takie też jest prawdopodobieństwo, że młodsze z dzieci pana Malinowskiego jest chłopcem.

Wszędzie powyżej słowo starszy moglibyśmy zastąpić jakimkolwiek innym słowem, dzięki któremu dałoby się wyróżnić jedno z dzieci (np. wyższe, cięższe itd.) i rozumowanie pozostałoby poprawne.

data ostatniej modyfikacji tej strony: 28 października 2001