wszystkie trójkąty są równoboczne
Rozważmy dowolny trójkąt ABC: niech X będzie punktem przecięcia symetralnej boku AB oraz dwusiecznej kąta BCA. Z punktu X poprowadźmy proste XR i XQ prostopadłe odpowiednio do boków AC i BC.
Po pierwsze, trójkąty CRX i CQX są przystające, bo:
- CX jest wspólnym bokiem trójkątów,
- kąt RCX = kąt QCX (bo CX jest dwusieczną kąta BCA),
- kąt XRC = kąt XQC = kąt prosty.
Zatem odcinki RC i QC oraz RX i XQ są tej samej długości.
Po drugie, trójkąty AXR i BXQ są przystające, bo:
- jak wyżej stwierdziliśmy, RX i XQ są tej samej długości,
- odcinki AX i BX są tej samej długości (prosta XP jest symetralną AB),
- kąt XRA = kąt XQB = kąt prosty.
Udowodniliśmy więc, że RC = QC i AR = BQ, zatem: AC = AR + RC = BQ + QC = BC, tzn. odcinki AC i BC mają taką samą długość, zatem trójkąt ABC jest równoramienny.
Wykreślając symetralną do boku AC i dwusieczną kąta CBA, i przeprowadzając rozumowanie analogiczne do powyższego łatwo przekonamy się, że także odcinki AB i CB mają taką samą długość, a więc trójkąt ABC jest nie tylko równoramienny, ale także równoboczny!
Jeden jedyny błąd w dowodzie polega na przyjęciu, że punkt X leży wewnątrz trójkąta ABC: w rzeczywistości znajduje się on na zewnątrz tego trójkąta - patrz rysunek poniżej.
